SaveAsメソッド
を使うと、保存前のブックは閉じて保存後の
ブックが開いた状態になります。

なので、保存前のフルパスのブックをKillステートメント
で削除してやればいいです。

ThisWorkbook.FullName
で自ブックのフルパスを取得出来ます。

ThisWorkbook.Path
で自ブックが格納されているフォルダのパス
を取得出来ます。

Date
で本日の日付けを取得出来ます。
Format関数で日付の体裁を整えます。
これはワークシート関数のTEXTと使い方
は同じです。

Format(Date,"mmdd")
というようなかんじです。

フォルダパス &  ブックのベース名 & "." & 拡張子

で保存するブックのパスを生成します。

保存したら

Kill 削除するブックのフルパス

でファイルを削除します。

一例です。

Sub test()
 Dim wb As Workbook
 Dim newwb As Workbook
 Dim wbpath As String
 Dim newwbmei As String
 Dim newwbpath As String
 Dim fol As String
  '変数wbへブックを格納
  Set wb = ThisWorkbook
  'ブックのフルパス取得
  wbpath = wb.FullName
  'ブックが格納されているフォルダのパスを取得/FSOを使う方法もあり
  fol = Left(wbpath, InStrRev(wbpath, "\"))

  '今日の日付のブック名生成
  newwbmei = Format(Now, "mmdd") & ".xlsm"

  '今日の日付のブックのフルパス生成
  newwbpath = fol & newwbmei

  '今日の日付のブックが既に存在したら/FSOを使う方法もあり
  If Dir(newwbpath) <> "" Then
    MsgBox newwbpath & vbCrLf & "は既に存在します"

  '存在しなかったら
  Else

     今日の日付のブックとしてブックを保存
     wb.SaveAs newwbpath

     '以前の日付のブックを削除/FSOを使う方法もあり
     Kill wbpath

  End If

  '変数の解放
  Set wb = Nothing
End Sub

ありがとうございました。

うまくできました。

ただ下記に、「'」 なかっつたです。　すこし苦労しましした。

今日の日付のブックとしてブックを保存
     wb.SaveAs newwbpath

Save
SaveAs
SaveCopyAs
の簡単な説明です。

A.Save
↓
'ブックAを上書き保存

A.SaveAs B
↓
’ブックAをブックBとして保存
→ブックAは最終保存時点での内容そのままで閉じられる→ブックAは閉じられているので削除することができる
　 ブックBは現時点での内容で保存される(ブックBは開いたまま)


A.SaveCopyAs B
↓
'ブックAの現時点の内容でブックBが保存される
→ブックBは開かれない
　 ブックAは現時点の内容で開いたまま→なのでブックAはこの時点では削除することができない

FileSystemObjectを使えば、閉じている他のファイル(ブック含む)の名前を変更、というｋとが
出来ます。
興味があったら勉強してみてください。